对于函数f(x).若f(x0)=x0.则称x0为f(x)的:“不动点 ,若f[f(x0)]=x0.则称x0为f(x)的“稳定点．函数f(x)的“不动点和“稳定点的集合分别记为A和B.即A={x|f[f(x)]=x}．=ax2+bx+c.且A=∅.求证:B=∅,=3x+4.求集合A和B.并分析能否根据中的结论判断A=B恒成立?若能.请给� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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对于函数f（x），若f（x₀）=x₀，则称x₀为f（x）的：“不动点”；若f[f（x₀）]=x₀，则称x₀为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求证：B=∅；
（2）设函数f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根据（1）（2）中的结论判断A=B恒成立？若能，请给出证明，若不能，请举以反例．

分析：（1）由已知中不动点的定义，由函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）结合二次方程的根的个数与△的关系，可得结论；
（2）由已知中不动点的定义，由函数f（x）=3x+4，求出集合A和B，另可举出反例f（1）=1，f（2）=3，f（3）=2，推翻结论A=B恒成立

解答：解：∵A={x|f[f（x）]=x}=∅，
∴ax²+bx+c=x无解
即△=（b-1）²-4a＜0
①当a＞0时，二次函数y=f（x）-x，即y=ax²+（b-1）x+c的图象在x轴的上方
∴?x∈R，f（x）-x恒成立
∴?x∈R，f（x）＞x恒成立
∴?x∈R，f[f（x）]＞f（x）＞x恒成立，即B=∅；
②当a＜0时，同理可证B=∅；
综上，对于函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），当A=∅时，B=∅；
（2）由f（x）=x，f（x）=3x+4得3x+4=x，解得x=-2
由f[f（x）]=x得3（3x+4）+4=x，解得x=-2
∴A=B={-2}
但A=B不能恒成立，如f（x）为如下对应关系时：
f（1）=1，f（2）=3，f（3）=2
则有A={1}，B={1，2，3}使A≠B

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的性质，其中正确理解不动点的定义是解答的关键，另外举反例难度较大．

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