Question

设F₁、F₂为曲线C₁：

x2

6

+

y2

2

=1的焦点，P是曲线C₂：

x2

3

-y2=1与C₁的一个交点，则

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

的值为

1

3

．

Answer 1

分析：先计算两曲线的焦点坐标，发现它们共焦点，再利用椭圆与双曲线定义，计算焦半径|PF₁|，|PF₂|，最后在焦点三角形PF₁F₂中，计算∠F₁PF₂=

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

即可

解答：解：依题意，曲线C₁：

x2

6

+

y2

2

=1的焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0）
双曲线C₂：

x2

3

-y2=1的焦点也为F₁（-2，0），F₂（2，0）
∵P是曲线C₂与C₁的一个交点，设其为第一象限的点
由椭圆与双曲线定义可知
PF₁+PF₂=2

6

，PF₁-PF₂=2

3

解得PF₁=

6

+

3

，PF₂=

6

-

3

设∠F₁PF₂=θ
则cosθ=

( 6 + 3 )2+( 6 - 3 )2- 42

2( 6 + 3 )( 6 - 3 )

=

1

3

=

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

故答案为：

1

3

点评：本题综合考查了椭圆与双曲线的定义，有一定的思维难度，用向量工具表达角的余弦值有一定的隐蔽性，解题时要透过现象看本质，用联系的观点解题