Question

设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y-1），a⊥b，动点M（x，y）的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（Ⅱ）已知m=

1

4

．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求该圆的方程；
（Ⅲ）已知m=

1

4

．设直线l与圆C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，且l与轨迹E只有一个公共点B₁．当R为何值时，|A₁B₁|取得最大值？并求最大值．

Answer 1

分析：（1）由a⊥b，所以a•b=0，代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx²+y²=1．
此为二元二次曲线，可分m=0、m=1、m＞0且m≠1和m＜0四种情况讨论；
（2）当m=

1

4

时，轨迹E的方程为

x2

4

+y2=1，表示椭圆，设圆的方程为x²+y²=r²（0＜r＜1），
当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，由直线和圆相切可得k和t的关系，
由OA⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₁=0，只需联立直线和圆的方程，消元，维达定理，又可以得到k和t的关系，这样就可解出r．
当切线斜率不存在时，代入检验即可．
（3）因为l与圆C相切，故△OA₁B₁为直角△，故|A₁B₁|²=|OB₁|²-|OA₁|²，只需求出OB₁和OA₁的长度即可，
直线l与圆C相切，且与椭圆相切找出关系，将|A₁B₁|表示为R的函数，转化为函数求最值．

解答：解：（Ⅰ）因为a⊥b，
所以a•b=0，即（mx，y+1）•（x，y-1）=0，
故mx²+y²-1=0，即mx²+y²=1．
当m=0时，该方程表示两条直线；
当m=1时，该方程表示圆；
当m＞0且m≠1时，该方程表示椭圆；
当m＜0时，该方程表示双曲线．

（Ⅱ）当m=

1

4

时，轨迹E的方程为

x2

4

+y2=1，
设圆的方程为x²+y²=r²（0＜r＜1），当
切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以

|t|

1+k2

=r，
即t²=r²（1+k²）．①
因为OA⊥OB，
所以x₁x₂+y₁y₁=0，
即x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0，
整理得（1+k²）x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=0．②
由方程组

x2 4 +y2=1 y=kx+t

消去y得
（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0．③
由韦达定理

x1+x2=- 8kt 1+4k2 x1•x2= 4t2-4 1+4k2

代入②式并整理得
（1+k²）

4t2-4

1+4k2

-

8k2t2

1+4k2

+t2=0，
即5t²=4+4k²．
结合①式有5r²=4，r=

2 5

5

∈(0，1)，
当切线斜率不存在时，x²+y²=

4

5

也满足题意，
故所求圆的方程为x²+y²=

4

5

．
（Ⅲ）显然，直线l的斜率存在，
设l的方程y=k₁x+t₁，B₁（x₃，y₃）
轨迹E的方程为

x2

4

+y2=1．
由直线l与圆相切得t₁²=R²（1+k₁²），
且对应③式有△=（8k₁t₁）²-4（1+4k₁²）（4t₁²-4）=0，
即t₁²=1+4k₁²，
由方程组

t 2 1 =R2(1+ k 2 1 ) t 2 1 =1+4 k 2 1

，
解得

k 2 1 = R2-1 4-R2 t 2 1 = 3R2 4-R2

当l与轨迹E只有一个公共点时，对应的方程③应有两个相等的．
由韦达定理

x

2 3

=

4 t 2 3 -4

1+4 k 2 1

=

4× 3R2 4-R2

1+4× R2-1 4-R2

=

16R2-16

3R2

，
又B₁在椭圆上，
所以

y

2 3

=1-

x 2 3

4

=1-

4R2-4

3R2

=

4-R2

3R2

，
因为l与圆C相切，
所以|A₁B₁|²=|OB₁|²-|OA₁|²=x₃²+y₃²-R²
=

-3R4+15R2-12

3R2

=-R2-

4

R2

+5
=-(R2+

4

R2

)+5≤-2

4

+5=1，
其中，等号成立的条件
R2=

4

R2

，
R=

2

∈(1，2)．
即故当R=

2

时，|A₁B₁|的最大值为1．

点评：本题考查求轨迹方程、及方程所表示的曲线、直线与圆、直线与椭圆的位置关系等知识，考查计算能力和分析问题解决问题的能力，综合性强，难度较大．