Question

（2013•天河区三模）设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量

a

=(x+

3

，my)，向量

b

=(x-

3

，y)，

a

⊥

b

，动点M（x，y）的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（II） 已知m=

3

4

，F（0，-1），直线l：y=kx+1与曲线E交于不同的两点M、N，则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的实数k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由向量数量积的坐标表示得到动点M（x，y）的轨迹，然后对m的取值分类讨论，得到曲线E的不同形状；
（Ⅱ）把m=

3

4

代入曲线E的方程，求出具体的椭圆方程，由直线系方程知直线l过椭圆的上焦点，则△FMN的周长为定值，设△FMN的内切圆半径为r，把三角形的面积用r表示，可知当△FMN的面积最大时其内切圆半径最大，联立直线方程和椭圆方程，把△FMN的面积用含有k的代数式表示，换元后利用导数求△FMN的最大值，进一步求出r的最大值，则△FMN的内切圆的面积的最大值可求．

解答：解：（Ⅰ）

a

=(x+

3

，my)，向量

b

=(x-

3

，y)，
因为

a

•

b

，所以

a

•

b

=x2+my2-3=0，即x²+my²=3．
当m=0时，方程表示两直线，方程为x=±

3

；
当m=1时，方程表示的是以原点为圆心，以

3

为半径的圆；
当0＜m＜1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆，当m＞1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
当m＜0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线．
（Ⅱ）当m=

3

4

时，曲线E的方程为椭圆

y2

4

+

x2

3

=1，F（0，-1）为椭圆的下焦点，
直线l：y=kx+1过椭圆的上焦点F'（0，1），则△FMN的周长等于4a=8，
设△FMN的内切圆的径r，
则S△FMN=

1

2

(MN+FM+FN)r=4r，因此，若S_△FMN最大，r就最大，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨x₁＞0，x₂＜0，SAMN=

1

2

|FF′|(x1-x2)=x1-x2，
由

y=kx+1 y2 4 + x2 3 =1

，得（3k²+4）x²+6kx-9=0
得x1=

-3k+6 k2+1

3k2+4

，x2=

-3k-6 k2+1

3k2+4

，
则S△FMN=

1

2

|FF′|•(x1-x2)=x1-x2=

12 k2+1

3k2+4

，
令t=

k2+1

，则t≥1，
则S△FMN=

12 k2+1

3k2+4

=

12t

3t2+1

=

12

3t+ 1 t

，
令f（t）=3t+

1

t

，则f′（t）=3-

1

t2

，
当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，
有f（t）≥f（1）=4，所以S_△FMN≤

12

4

=3，
即当t=1，k=0时，S_△FMN≤

12

4

=3，
由S_△FMN=4r=3，∴r_max=

3

4

，
这时所求内切圆面积的最大值为πr2=π×(

3

4

)2=

9

16

π．
故k=0，△AMN内切圆面积的最大值为

9

16

π．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量数量积的坐标运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，运用了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，考查了换元法和利用导数求函数的最值，是有一定难度题目．