Question

我校学生会要组建学生明星篮球队，需要在各班选拔预备队员．选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则进入B级，投中4次及以上则进入A级，已知阿达每次投篮投中的概率是

1

2

．
（1）设阿达在5次投篮中，投中次数为X，求X的分布列和它的数学期望E（X）；
（2）求阿达投篮4次恰好进入B级的概率；
（3）为增加竞争力度，学生会下发新规：连续两次投篮不中必须停止投篮，求阿达投篮次数不超过4次的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意知X的取值为0，1，2，3，4，5，且X～B(5，

1

2

)，根据符合二项分布写出变量的概率，写出分布列做出期望值．
（2）阿达投篮4次恰好进入B级表示选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则进入B级，根据符合独立重复试验的概率公式，得到结果．
（3）阿达“投篮次数不超过4次”这一事件有如下几种情况：①阿达共投篮两次，两次都不中，②阿达共投篮三次，依次是中，不中，不中．③阿达共投篮四次，依次是中，中，不中，不中；不中，中，不中，不中，
这三种结果是互斥的，得到概率．

解答：解：（1）由已知X的取值为0，1，2，3，4，5，且X～B(5，

1

2

)
∴P(X=i)=

C

i 5

(

1

2

)i×(

1

2

)5-i=

C

i 5

(

1

2

)5

(其中i∈N，且i≤5)

…（2分）
∴X分布列为

X	0	1	2	3	4	5
P	1 32	5 32	10 32	10 32	5 32	1 32

…（4分）E(X)=5×

1

2

=

5

2

．…（6分）
（2）设“阿达投篮4次恰好进入B级”为事件A，
则P(A)=

C

2 3

(

1

2

)2×

1

2

×

1

2

=

3

16

．…（8分）
（3）设“阿达第i次投篮命中”为事件A_i（i=1，2，3，4），若i≠j，则A_i与A_j独立（i，j=1，2，3，4），根据新规：若连续两次投篮不中则停止投篮，阿达“投篮次数不超过4次”这一事件有如下几种情况：
①阿达共投篮两次，两次都不中，其概率为P(

.

A1

.

A2

)=(

1

2

)2=

1

4

…（9分）
②阿达共投篮三次，依次是中，不中，不中．其概率为P(A1

.

A2

.

A3

)=

1

2

×(

1

2

)2=

1

8

…（11分）
③阿达共投篮四次，依次是中，中，不中，不中；不中，中，不中，不中，
即A1A2

.

A3

.

A4

和

.

A1

A2

.

A3

.

A4

，又A1A2

.

A3

.

A4

和

.

A1

A2

.

A3

.

A4

互斥．
故其概率为P(A1A2

.

A3

.

A4

+

.

A1

A2

.

A3

.

A4

)=P(A1A2

.

A3

.

A4

)+P(

.

A1

A2

.

A3

.

A4

)=2×(

1

2

)4=

1

8

…（13分）
又①②③这三种情况两两互斥，故阿达投篮次数不超过4次的概率为

1

4

+

1

8

+

1

8

=

1

2

（14分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，看出独立重复试验的概率公式，本题解题的关键是理解条件中所给的事件包含的结果，本题是一个综合题目．