Question

已知圆M经过点（3，

5

），且圆心为（5，0），过坐标原点作其切线l．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法一：求出半径，然后求出圆M的标准方程；
法二：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．
（Ⅱ）法一：求出OA的斜率然后求出直线l的方程．
法二：设出直线方程，利用直线与圆相切求出k即可求出直线方程．

解答：解：（Ⅰ）法一：点（3，

5

）到圆心（5，0）的距离为圆的半径R，
所以R=

(3-5)2+( 5 -0)2

=3..（2分）
所以圆的标准方程为（x-5）²+y²=9..（4分）
法二：设圆的标准方程为（x-5）²+y²=R²..（2分）
由圆M经过点（3，

5

）得：(3-5)2+(

5

)2=R2
即：R²=9
所以圆的标准方程为（x-5）²+y²=R²..（4分）
（Ⅱ）法一：如图：直线OA、OB与圆M相切于
点A、B，由OM=5，AM=3
可知OA=4，所以kOA=tan∠AOB=

AM

OA

=

3

4

..（6分）
由点斜式可得直线OA的方程为y=

3

4

x，同理可得直线OA方程为y=-

3

4

x..（8分）
法二：设切线方程为y=kx，与圆M方程联立方程组有唯一解，即：

y=kx (x-5)2+y2=9

?（1+k²）x²-10x+16=0有唯一解..（6分）
所以：△=100-64（1+k²）=0，即：k=±

3

4

所以所求切线方程为y=±

3

4

x..（8分）

点评：本题是基础题，考查直线的切线方程，圆的标准方程，考查计算能力，常考题型．