Question

已知函数，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）；数列{b_n}满足，，其中S_n为数列{b_n}前n项和，n=1，2，3…
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）设，证明T_n＜5．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=，∴，
∴，
∴是以为首项，以2为公差的等差数列，
∴，
∴，又∵，，
∴，
b_n+2=2S_n+1+1，
∴b_n+2-b_n+1=2（S_n+1-S_n），
∴b_n+2=3b_n+1，∵，b₂=2S₁+1=2，
∴{b_n}从第二项起成等比数列，公比为3，
∴．
（2）证明：依题意
，
令，①
+…+，②
①-②，得+…+
=3+2×
∴，
∴
=5-＜5．
即T_n＜5．
分析：（1）由f（x）=，知，所以，．由，知，由此能求出数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式．
（2）依题意，令，由错位相减法能求出，所以=5-＜5．
点评：本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．易错点是计算量大，在计算过程中容易出错．