Question

如图，已知在正四面体ABCD中，O为A在BCD面内的射影，M为AO中点，求证MB、MC、MD两两垂直．

Answer 1

答案：
解析：

证明 设正四面体棱长为A．由ABCD为正四面体，知O为△BCD中心．延长BO，交CD于E，连结ME．BE=a，OE=a，BO=A．在Rt△AOB中，AO==，故MO=a． 在Rt△MBO中，MB=． ∵ ∴ BM⊥ME． 又由三垂线定理，知BM⊥CD，ME∩CD=E，故BM⊥平面MCD．又，故BM⊥MC，BM⊥MD． 同理可证MC⊥MD，MC⊥MB．故MB、MC、MD两两垂直． 本题还可在求出MB=a后，同理可知MC=MD=a． ∵， ∴MB⊥MC． 同理MB⊥MD，MD⊥MC． ∴MB、MC、MD两两垂直． 通过“计算”来证明线线垂直是此例证明的特点．