Question

在三角形ABC中任取一点P，求三角形ABP与三角形ABC的面积之比大于

n-1

n

的概率．

Answer 1

分析：根据题意可得：首先由三角形ABP与三角形ABC的面积之比等于

n-1

n

时可得点P在EF上活动，得到

PH

CG

=

n-1

n

，所以

EF

AB

=

1

n

．若三角形ABP与三角形ABC的面积之比大于

n-1

n

，则点P在阴影部分活动，再根据几何概率模型的概率公式得到答案．

解答：解：根据题意画出图象如图所示：

当三角形ABP与三角形ABC的面积之比等于

n-1

n

时，点P在EF上活动，
则有

PH

CG

=

n-1

n

，
所以此时

EF

AB

=

1

n

．
若三角形ABP与三角形ABC的面积之比大于

n-1

n

，则点P在阴影部分活动，
所以三角形ABP与三角形ABC的面积之比大于

n-1

n

的概率为

S△CEF

S△CAB

=(

EF

AB

)2=

1

n2

，
所以三角形ABP与三角形ABC的面积之比大于

n-1

n

的概率

1

n

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何概率模型的定义与概率公式，而利用公式解决几何概型的问题时要弄清认清基本事件空间是指面积、长度还是体积，这也是解决几何概型的关键．