Question

抛物线y²=4x的焦点为F，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0）在抛物线上，且存在实数λ，使

AF

+λ

BF

=0，|

AB

|=

25

4

．
（1）求直线AB的方程；
（2）求△AOB的外接圆的方程．

Answer 1

分析：（1）先求出抛物线的准线方程，根据

AF

+λ

BF

=0可得到A，B，F三点共线，再由抛物线的定义可表示出|

AB

|，再设直线AB方程后与抛物线方程进行联立消去y得到关于x的方程，进而可得到两根之和与两根之积，代入到|

AB

|的表达式中可求出最后k的值，进而得到直线AB的方程．
（2）由（1）中求得的直线方程与抛物线联立可求出A，B的坐标，然后设圆的一般式方程，用待定系数法求出D，E，F的值，得到答案．

解答：解：（1）抛物线y²=4x的准线方程为x=-1．
∵

AF

+λ

BF

=0，
∴A，B，F三点共线．
由抛物线的定义，得|

AB

|=x₁+x₂+2．
设直线AB：y=k（x-1），而k=

y1-y2

x1-x2

，x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0．∴k＞0
由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-2（k²+2）x+k²=0．
∴

x1+x2= 2(k2+2) k2 x1•x2=1

|

AB

|=x₁+x₂+2=

2(k2+2)

k2

+2=

25

4

．
∴k2=

16

9

．
从而k=

4

3

，
故直线AB的方程为y=

4

3

(x-1)，
即4x-3y-4=0．
（2）由

4x-3y-4=0 y2=4x

求得A（4，4），B（

1

4

，-1）．
设△AOB的外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则

F=0 16+16+4D+4E+F=0 1 16 +1+ 1 4 D+(-E)+F=0

解得

D=- 29 4 E=- 3 4 F=0

故△AOB的外接圆的方程为x2+y2-

29

4

x-

3

4

y=0．

点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．考查综合运用能力．