Question

1．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l交椭圆与两点A，B，则|AF₂|+|BF₂|的最大值为（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 由题意方程求得椭圆的半焦距，结合椭圆定义求得|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a=8，则|AF₂|+|BF₂|=8-|AB|，再求出当AB垂直于x轴时的最小值，则|AF₂|+|BF₂|的最大值可求．

解答 解：由题意可知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1焦点在x轴上，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
由椭圆的定义可知：|AF₂|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，则|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a=8，
|AF₂|+|BF₂|=8-|AB|，
∵当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值，
当x=-c=-1，$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，解得：y=±$\frac{3}{2}$，
∴|AB|_min=3，
∴|AF₂|+|BF₂|的最大值为8-3=5．

点评 本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆通径的求法，考查计算能力，属于基础题．