Question

16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sinA-sinB=$\frac{1}{3}$sinC，3b=2a，2≤a²+ac≤18，设△ABC的面积为S，p=$\sqrt{2}$a-S，则p的最大值是$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用正弦定理求得a、b、c的关系，以及a的取值范围，再利用余弦定理求得cosB、sinB 的值，从而求得△ABC的面积S，写出p的解析式，利用二次函数的性质即可求得p的最大值．

解答 解：△ABC中，由sinA-sinB=$\frac{1}{3}$sinC，
利用正弦定理得c=3a-3b，
再根据3b=2a，2≤a²+ac≤18，
可得c=a，b=$\frac{2a}{3}$，1≤a≤3．
由余弦定理得 b²=$\frac{4{a}^{2}}{9}$=a²+a²-2a•a•cosB，
求得cosB=$\frac{7}{9}$，
∴sinB=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$•ac•sinB=$\frac{1}{2}$a²•$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$•a²，
故p=$\sqrt{2}$a-S=$\sqrt{2}$a-$\frac{2\sqrt{2}}{9}$a²=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$-$\frac{2\sqrt{2}}{9}$（a-$\frac{9}{4}$）²，
利用二次函数的性质结合a的范围1≤a≤3，可得：
当a=$\frac{9}{4}$时，p取得最大值是$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．
故答案为：$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，也考查了二次函数的最值问题，是综合性题目．