Question

如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB=AE=2，CF=3．
（1）求证：EF⊥平面BDE；
（2）求锐二面角E-BD-F的大小．

Answer 1

（1）证明：连接AC、BD，设AC∩BD=O，
∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
以O为原点，OA，OB为x．y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系，…（2分）
则，，E（1，0，2），F（-1，0，3），，，，…（4分）
∴，，
∴EF⊥DE，EF⊥BE，又DE∩BE=E，
∴EF⊥平面BDE； …（6分）
（2）由知（1）是平面BDE的一个法向量，设是平面BDF的一个法向量，
，，
由，得：，取x=3，得z=1，y=0，于是，…（10分）
∴==-，
由于二面角E-BD-F为锐二面角，故其大小为45°． …（12分）
分析：（1）证明连接AC、BD，设AC∩BD=O，以O为原点，OA，OB为x．y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用向量的数量积，即可证得EF⊥平面BDE；
（2）由知（1）是平面BDE的一个法向量，求出平面BDF的一个法向量，再利用向量的夹角公式，即可得到二面角E-BD-F的大小．
点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量．