Question

【题目】设{an}是公比为q的等比数列．
（1）试推导{an}的前n项和公式；
（2）设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列．

Answer 1

【答案】
（1）解：当q=1时，Sn=na1；

当q≠0，1时，由Sn=a1+a2+…+an，

得qSn=a1q+a2q+…+an﹣1q+anq．

两式错位相减得（1﹣q）Sn=a1+（a2﹣a1q）+…+（an﹣an﹣1q）﹣anq，（*）

由等比数列的定义可得 ，

∴a2﹣a1q=a3﹣a2q=…=0．

∴（*）化为（1﹣q）Sn=a1﹣anq，

∴ ．

∴ ；

（2）证明：

用反证法：设{an}是公比为q≠1的等比数列，数列{an+1}是等比数列．

①当存在n∈N*，使得an+1=0成立时，数列{an+1}不是等比数列．

②当n∈N*（n≥2），使得an+1≠0成立时，则 = = ，

化为（qn﹣1﹣1）（q﹣1）=0，

∵q≠1，∴q﹣1≠0，qn﹣1﹣1≠0，故矛盾．

综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．

【解析】（1）分q=1与q≠1两种情况讨论，当q≠1，0时，利用错位相减法即可得出；（2）分①当存在n∈N* ， 使得an+1=0成立时，显然不成立；②当n∈N*（n≥2），使得an+1≠0成立时，使用反证法即可证明．
【考点精析】掌握等比数列的前n项和公式和等比关系的确定是解答本题的根本，需要知道前项和公式：；等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断．