Question

（1）若等比数列{a_n}的前n项和为S_n=3•2ⁿ+a，求实数a的值；
（2）对于非常数列{a_n}有下面的结论：若数列{a_n}为等比数列，则该数列的前n项和为S_n=Aa_n+B（A，B为常数）．判断它的逆命题是真命题还是假命题，并说明理由．
（3）若数列{a_n}为等差数列，则该数列的前n项和为Sn=

n(a1+an)

2

．对其逆命题进行研究，写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

（1）a₁=6+a，（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3•2ⁿ-3•2^n-1=3•2^n-1（2分），
因为数列{a_n}为等比数列，所以a₁满足a_n的表达式，即6+a=3•2⁰，a=-3；（4分）
（2）逆命题：数列{a_n}是非常数数列，若其前n项和S_n=Aa_n+B（A，B为常数），则该数列是等比数列
判断：是假命题． （7分）
直接举反例，当A=0，B≠0时，数列{a_n}为：B，0，0，0，
故其前n项和满足S_n=Aa_n+B（A，B为常数），但不是等比数列；（10分）
（3）逆命题：若数列{a_n}的前n项和Sn=

n(a1+an)

2

，则该数列是等差数列．
为真命题． （12分）
证明：n=3时，由2（a₁+a₂+a₃）=3a₁+3a₃?2a₂=a₁+a₃，命题成立，（13分）
假设n=k，（k≥3），Sk=

k(a1+ak)

2

时，数列{a_n}是等差数列，
当n=k+1时，2（S_k+a_k+1）=（k+1）（a₁+a_k+1），设a_k=a₁+（k-1）d
则（k-1）a_k+1=（k-1）（a₁+kd）…（16分）a_k+1=a₁+kd，即当n=k+1时，命题成立，（17分）
由数学归纳法可知，逆命题成立．（18分）