Question

已知抛物线y²=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A，B两点，且直线l与x轴交于点C．
（1）若以A，B为直径的圆经过坐标原点，求此时的直线l的方程；
（2）求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
（3）设

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设l的方程为y=kx+2（k≠0）与抛物线y²=4x联立，利用以A，B为直径的圆经过坐标原点，可得x₁x₂+y₁y₂=0，从而可求直线l的方程；
（2）证明|MC|²=|MA||MB|≠0，即可得到|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
（3）由

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，得α=

-kx1

kx1+2

，β=

-kx2

kx2+2

，结合韦达定理，可得结论．

解答：（1）解：设l的方程为y=kx+2（k≠0）与抛物线y²=4x联立，可得k²x²+（4k-4）x+4=0
由△＞0，k≠0，可得k＜

1

2

且k≠0
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

4k-4

k2

①，x1x2=

4

k2

②
∵以A，B为直径的圆经过坐标原点，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0
∴

4+8k

k2

=0
∴k=-

1

2

∴此时的直线l的方程为x+2y-4=0；
（2）证明：∵|MA||MB|=

1+k2

|x1-0|•

1+k2

|x2-0|=

4(1+k2)

k2

|MC|2=(

1+k2

|-

2

k

-0|)2=

4(1+k2)

k2

∴|MC|²=|MA||MB|≠0
∴|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
（3）解：由

MA

=α

AC

，

MB

=β

BC

，得α=

-kx1

kx1+2

，β=

-kx2

kx2+2

∴α+β=

-2k2x1x2-2k(x1+x2)

k2x1x2+2k(x1+x2)+4

把①②代入，可得α+β=-1，即α+β为定值-1．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查等比数列的证明，考查学生的计算能力，属于中档题．