Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过M作斜率为k的直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于点E（x₀，0）．
（1）求k的取值范围；
（2）求证：x₀＞3；
（3）△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求此k的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设斜率为k的直线方程为y=k（x+1）代入抛物线方程，利用根的判别式，即可得到结论；
（2）求出AB的垂直平分线方程，令y=0，即可证得结论．
（3）利用EF中点坐标与P的横坐标相等，即可求得结论．

解答：（1）解：由题意，M（-1，0），
设斜率为k的直线方程为y=k（x+1）
代入抛物线方程，整理可得k²x²+（2k²-4）x+k²=0
∵过M作斜率为k的直线与抛物线交于A、B两点，
∴（2k²-4）²-4k⁴＞0且k≠0
∴-1＜k＜0或0＜k＜1
∴k的取值范围是（-1，0）∪（0，1）；     
（2）证明：由（1）知，k²x²+（2k²-4）x+k²=0
∵过M作斜率为k的直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中点为P
∴P的横坐标为

2-k2

k2

，
代入y=k（x+1），可得P的纵坐标为

2

k

                 
∴AB的垂直平分线方程为y-

2

k

=-

1

k

（x-

2-k2

k2

）
令y=0可得x₀=

2+k2

k2

=

2

k2

+1
∵-1＜k＜0或0＜k＜1
∴k²＜1且k≠0
∴

2

k2

＞2
∴

2

k2

+1＞3，即x₀＞3；
（3）若△PEF能成为以EF为底的等腰三角形，则
由EF中点坐标与P的横坐标相等，可得

1+ 2+k2 k2

2

=

2-k2

k2

∴k=±

2

2

．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．