Question

已知抛物线y²=4x，焦点为F，顶点为O，点P（m，n）在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点．
（1）求点M的轨迹方程．
（2）求

n

m+3

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），求出y²=4x的焦点F的坐标，利用M是FQ的中点，Q是OP的中点，分别推出M，P，Q的坐标故选，利用P（m，n）在抛物线上，求点M的轨迹方程．
（2）通过

n

m+3

的几何意义，直接联立方程组，利用△≥0，求出它的取值范围．

解答：解：（1）设M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易求y²=4x的焦点F的坐标为（1，0）
∵M是FQ的中点，
∴

x= 1+x2 2 y= y2 2

⇒

x2=2x-1 y2=2y

，
又Q是OP的中点∴

x2= x1 2 y2= y1 2

⇒

x1=2x2=4x-2 y1=2y2=4y

，
∵P在抛物线y²=4x上，
∴（4y）²=4（4x-2），
所以M点的轨迹方程为y2=x-

1

2

．
（2）

n

m+3

可看作抛物线上的点与定点（-3，0）连线的斜率，设

y

x+3

=k，

y x+3 =k y2=4x

，可得k²x²+（6k²-4）x+9k²=0，由△≥0，
可得k2≤

1

3

，
所以它的取值范围．k∈[-

3

3

，

3

3

]．

点评：本题考查曲线轨迹方程的求法，直线的斜率的应用，函数与方程的思想，考查计算能力．