Question

在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）．某造船厂每年最多造船20艘，造船x台（x∈N^*）的产值函数R（x）=3700x+45x²-10x³（单位：万元），其成本函数C（x）=460x+500（单位：万元），利润是产值与成本之差．
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；
（2）该造船厂每年造船多少艘，可使年利润最大？
（3）有人认为“当利润P（x）最大时，边际利润MP（x）也最大”，这种说法对不对？说明理由．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）P（x）=R（x）-C（x），MP（x）=P（x+1）-P（x），由此能求出利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）．
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240，由此能求出造船厂每年造船12艘，可使年利润最大．
（3）边际利润函数MP（x）=-30（x-1）²+3305，当x=1时，边际利润MP（x）最大．所以“当利润P（x）最大时，边际利润MP（x）也最大”，这种说法不正确．

解答： 解：（1）由题意：P（x）=R（x）-C（x）
=-10x³+45x²+3240x-500，x≤20，x∈N^*．…（2分）
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-30x²+60x+3275，x≤20，x∈N^*．…（4分）
（缺少自变量范围，酌情扣分）
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x+9）（x-12），…（6分）
当1≤x≤12时，P′（x）＞0，P（x）递增；
当12＜x≤20时，P′（x）＜0，P（x）递减．…（9分）
∴当x=12时，利润P（x）最大．
即造船厂每年造船12艘，可使年利润最大．…（11分）
（3）边际利润函数MP（x）=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305，
∴MP（x）在[1，20]为减函数．…（14分）
∴当x=1时，边际利润MP（x）最大．…（15分）
∴“当利润P（x）最大时，边际利润MP（x）也最大”，这种说法不正确．…（16分）

点评：本题考查利润函数和边际利润函数的求法，考查造船厂每年造多小船可使年利润最大的求法，考查“当利润P（x）最大时，边际利润MP（x）也最大”这种说法是否正确的判断，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．