Question

11．已知4$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=（-2，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{c}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=3，|$\overrightarrow{b}$|=4，求向量$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{b}$=（x，y）．由4$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=（-2，2$\sqrt{3}$），可得$\overrightarrow{a}$=$（\frac{x-1}{2}，\frac{y+\sqrt{3}}{2}）$，由于$\overrightarrow{c}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=3，可得：x+$\sqrt{3}$y=4．由|$\overrightarrow{b}$|=4，x²+y²=16．联立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，
解出，再利用向量夹角公式即可得出．

解答 解：设$\overrightarrow{b}$=（x，y）．∵4$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=（-2，2$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{a}$=$（\frac{x-1}{2}，\frac{y+\sqrt{3}}{2}）$，
∵$\overrightarrow{c}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=3，
∴3=$\frac{x-1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}（y+\sqrt{3}）}{2}$，化为x+$\sqrt{3}$y=4．
∵|$\overrightarrow{b}$|=4，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=4，即x²+y²=16．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴向量$\overrightarrow{b}$=（4，0），或$（-2，2\sqrt{3}）$．
∴向量$\overrightarrow{b}$=（4，0），$|\overrightarrow{b}|$=4，$|\overrightarrow{c}|$=2，$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=4，
设向量$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为θ．
cosθ=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{4}{4×2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$．
同理可得：向量$\overrightarrow{b}$=$（-2，2\sqrt{3}）$时，θ=$\frac{π}{3}$．
综上可得：向量$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了向量的数量积坐标运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．