Question

1．求下列函数的值域：
（1）y=$\frac{1}{{x}^{2}+2x-3}$；
（2）f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{3x+4}$．

Answer 1

分析 （1）配方得到x²+2x-3=（x+1）²-4≥-4，从而得到-4≤x²+2x-3＜0，或x²+2x-3＞0，从而可以得出$\frac{1}{{x}^{2}+2x-3}$的范围，即得出该函数的值域；
（2）可设y=f（x），从而得到x²-3yx+1-4y=0，看成关于x的一元二次方程，方程有解，从而有△≥0，这样即可得出该函数的值域．

解答 解：（1）x²+2x-3=（x+1）²-4；
∴-4≤x²+2x-3＜0，或x²+2x-3＞0；
∴$\frac{1}{{x}^{2}+2x-3}≤-\frac{1}{4}$，或$\frac{1}{{x}^{2}+2x-3}＞0$；
∴该函数的值域为（-∞，$-\frac{1}{4}$]∪（0，+∞）；
（2）设y=f（x），则3yx+4y=x²+1；
整理得：x²-3yx+1-4y=0，看成关于x的一元二次方程，方程有解；
∴△=9y²-4（1-4y）≥0；
解得y≤-2，或y$≥\frac{2}{9}$；
∴原函数的值域为（-∞，-2]∪[$\frac{2}{9}$，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，配方求二次函数值域的方法，以及根据不等式的性质求值域，一元二次方程有解时判别式△的取值情况．