Question

【题目】已知函数
（1）判断函数 的单调性并给出证明；
（2）若存在实数 使函数 是奇函数，求 ；
（3）对于(2)中的 ，若 ，当 时恒成立，求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：不论a为何实数，f(x)在定义域上单调递增．
证明：设x1 ， x2∈R，且x1<x2 ，
则 由 可知 ，所以 ,
所以
所以由定义可知，不论 为何值， 在定义域上单调递增
（2）解：由f(0)＝a－1＝0得a＝1，
经验证，当a＝1时， f(x)是奇函数
（3）解：由条件可得： m 2x ＝(2x＋1)＋ －3恒成立．m (2x＋1)＋ －3的最小值，x∈[2,3]．
设t＝2x＋1，则t∈[5,9]，函数g(t)＝t＋ －3在[5,9]上单调递增，
所以g(t)的最小值是g(5)＝ ，
所以m ，即m的最大值是
【解析】本题主要考查函数单调性以及函数 的奇偶性和函数最值的问题。（1）要判断函数的单调性并证明，主要利用函数的单调性的定义来进行证明，注意要化成乘积形式进行求解。（2）函数的奇偶性的判断，注意函数的定义域中包含原点的函数一定过原点。（3）因为有不等式恒成立，把不等式转化为m ≤ (2x＋1)＋ 的形式，求函数的最小值即可。
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的性质和函数的奇偶性，掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称即可以解答此题．