Question

设椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，离心率为，在x轴负半轴上有一点B，且＝2．

(1)若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程；

(2)在(1)的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意，得，所以 　　又，由于，所以为的中点， 　　所以 　　所以的外接圆圆心为，半径；3分 　　又过三点的圆与直线相切， 　　所以解得， 　　所求椭圆方程为；6分 　　(2)有(1)知，设的方程为： 　　将直线方程与椭圆方程联立 　　，整理得 　　设交点为，因为 　　则；8分 　　若存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形， 　　由于菱形对角线垂直，所以(＋)．＝0 　　又＋ 　　又的方向向量是，故，则 　　，即 　　由已知条件知；11分 　　，故存在满足题意的点且的取值范围是；13分