Question

2．（1）已知角α终边经过点P（-5a，12a）（a≠0），求sinα，cosα，tanα的值；
（2）设$α=-\frac{35}{6}π$，化简$\frac{2sin（π+α）cos（π-α）-cos（π+α）}{{1+{{sin}^2}α+sin（π-α）-{{cos}^2}（π+α）}}$．

Answer 1

分析 （1）先根据点P（-5a，12a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论．
（2）由已知可求sinα，cosα的值，利用诱导公式化简所求后代入即可求值．

解答 解：（1）∵x=-5a，y=12a，r=|OP|=$\sqrt{（-5a）^{2}+（12a）^{2}}$=13|a|
①当a＞0时，r=13a，sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{12}{13}$，cosα=$\frac{x}{r}$=-$\frac{5}{13}$，tanα=$\frac{y}{x}$=-$\frac{12}{5}$；
②当a＜0时，r=-13a，sinα=$\frac{y}{r}$=-$\frac{12}{13}$，cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{5}{13}$，tanα=$\frac{y}{x}$=-$\frac{12}{5}$．
（2）∵$α=-\frac{35}{6}π$，
∴sinα=sin（$-\frac{35π}{6}$）=-sin（6π$-\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，cosα=cos（$-\frac{35π}{6}$）=cos（6π$-\frac{π}{6}$）=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{2sin（π+α）cos（π-α）-cos（π+α）}{{1+{{sin}^2}α+sin（π-α）-{{cos}^2}（π+α）}}$=$\frac{2（-sinα）（-cosα）+cosα}{1+si{n}^{2}α+sinα-co{s}^{2}α}$=$\frac{2sinαcosα+cosα}{2si{n}^{2}α+sinα}$=$\frac{2×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2×（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了诱导公式及任意角的三角函数的定义，知道角的终边上一点的坐标情况下的任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，点P（x，y）是角α终边上任意一点，点P与原点O的距离为r=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$＞0，结合相似三角形的知识可得，sinα=$\frac{y}{r}$，cosα=$\frac{x}{r}$，tanα=$\frac{y}{x}$（x≠0），属于基础题．