已知定点A(-2,0)和B(2,0),曲线E上任一点P满足|PA|-|PB|=2.
(1)求曲线E的方程;
(2)延长PB与曲线E交于另一点Q,求|PQ|的最小值;
(3)若直线l的方程为x=a(a≤),延长PB与曲线E交于另一点Q,如果存在某一位置,使得从PQ的中点R向l作垂线,垂足为C,满足PC⊥QC,求a的取值范围。
(1)x2-=1(x>0) ;(2)|PQ|min=6;(3) a≤-1.
解析试题分析:(1)由题意可知P点轨迹为双曲线,由a,c求出b的值,则方程可求;
(2)当直线斜率存在时,设出直线方程,和双曲线方程联立后求得判别式大于0,再由两根之和大于0,且两根之积大于0联立求得k的范围由弦长公式写出弦长,借助于k的范围求弦长的范围,当斜率不存在时直接求解;
(3)由题意,|CR|=|PQ|。若直线PQ不垂直于x轴,由|CR|=-a=-a
∴-a=·,a==-1+<-1,若直线PQ垂直于x轴,这时|PQ|=6,|CR|=2-a ∴a=-1, 综上a≤-1.
试题解析:解:(1)由双曲线的定义得:曲线E是以A, B为焦点的双曲线的右支,所以曲线E的方程为:x2-=1(x>0) 2分
(2)若直线PQ不垂直于x轴,设直线PQ的方程为:y=k(x-2)
由,得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0 3分
设p(x1,y1),Q(x2,y2),这里x1>0,x2>0
则: 得:k2>3 6分
|PQ|=|x1-x2|==6+>6 6分
若直线PQ垂直于x轴,则直线PQ的方程为x=2。 8分
这时P(2,3),Q(2,-3),所以|PQ|=6,
综上:|PQ|min=6 9分
(3)据题意得:|CR|=|PQ|。若直线PQ不垂直于x轴,
由|CR|=-a=-a 10分
∴-a=·,a==-1+<-1 12分
若直线PQ垂直于x轴,这时|PQ|=6,|CR|=2-a
∴a=-1. 13分
综上a≤-1. 14分
考点:直线与圆锥曲线的关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,若,且.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)已知定点,若斜率为的直线过点并与轨迹交于不同的两点,且对于轨迹上任意一点,都存在,使得成立,试求出满足条件的实数的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求·的取值范围;
(3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点.
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已知圆的圆心在坐标原点O,且恰好与直线相切.
(1)求圆的标准方程;
(2)设点A为圆上一动点,AN轴于N,若动点Q满足(其中m为非零常数),试求动点的轨迹方程.
(3)在(2)的结论下,当时,得到动点Q的轨迹曲线C,与垂直的直线与曲线C交于 B、D两点,求面积的最大值.
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已知点在椭圆:上,以为圆心的圆与轴相切于椭圆的右焦点,且,其中为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点,设是椭圆上的一点,过、两点的直线交轴于点,若, 求直线的方程;
(3)作直线与椭圆:交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.
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如图所示,在直角坐标系xOy中,点P到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.
(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面积的最大值.
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在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为8.过定点M(0,3)的直线l1与椭圆C交于G,H两点(点G在点M,H之间).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l1的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形为菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.
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