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已知定点A(-2,0)和B(2,0),曲线E上任一点P满足|PA|-|PB|=2.
(1)求曲线E的方程;
(2)延长PB与曲线E交于另一点Q,求|PQ|的最小值;
(3)若直线l的方程为x=a(a≤),延长PB与曲线E交于另一点Q,如果存在某一位置,使得从PQ的中点R向l作垂线,垂足为C,满足PC⊥QC,求a的取值范围。

(1)x2=1(x>0) ;(2)|PQ|min=6;(3) a≤-1.

解析试题分析:(1)由题意可知P点轨迹为双曲线,由a,c求出b的值,则方程可求;
(2)当直线斜率存在时,设出直线方程,和双曲线方程联立后求得判别式大于0,再由两根之和大于0,且两根之积大于0联立求得k的范围由弦长公式写出弦长,借助于k的范围求弦长的范围,当斜率不存在时直接求解;
(3)由题意,|CR|=|PQ|。若直线PQ不垂直于x轴,由|CR|=-a=-a
-a=·,a==-1+<-1,若直线PQ垂直于x轴,这时|PQ|=6,|CR|=2-a ∴a=-1, 综上a≤-1.
试题解析:解:(1)由双曲线的定义得:曲线E是以A, B为焦点的双曲线的右支,所以曲线E的方程为:x2=1(x>0)                          2分
(2)若直线PQ不垂直于x轴,设直线PQ的方程为:y=k(x-2)
,得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0        3分
设p(x1,y1),Q(x2,y2),这里x1>0,x2>0
则:   得:k2>3 6分
|PQ|=|x1-x2|==6+>6        6分
若直线PQ垂直于x轴,则直线PQ的方程为x=2。        8分
这时P(2,3),Q(2,-3),所以|PQ|=6,
综上:|PQ|min=6  9分
(3)据题意得:|CR|=|PQ|。若直线PQ不垂直于x轴,
由|CR|=-a=-a                        10分
-a=·,a==-1+<-1  12分
若直线PQ垂直于x轴,这时|PQ|=6,|CR|=2-a
∴a=-1.                                         13分
综上a≤-1.                                        14分
考点:直线与圆锥曲线的关系.

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