Question

15、已知集合A，B满足A∪B={0，1}，试分别用分类计数原理、分步计数原理两种方法求出A，B的组数．

Answer 1

分析：用分类计数原理，列举出所有的可能的情况，把各种情况的结果数都相加，得到所有的满足条件的结果数：用分步计数原理来解释，A∪B={0，1}可以看成是将0和1全部放入A或B两个“口袋”，每一个元素都有三种不同的方法，利用分步计数原理得到结果．

解答：解：法一用分类计数原理．
因为A∪B={0，1}，所以A⊆{0，1}．
若A=∅，则B={0，1}，只有1组；
若A={0}，则B={1}或{0，1}，共2组；
若A={1}，则B={0}或{0，1}，共2组；
若A={0，1}，则B=∅或{0}或{1}或{0，1}，共4组．
根据分类计数原理知，满足A∪B={0，1}的集合A、B共有1+2+2+4=9（组）．
法二：用分步计数原理．A∪B={0，1}可以看成是将0和1全部放入A或B两个“口袋”．
第1步，放“0”，共有“只放入A”，“只放入B”，“既放入A也放入B”3种情形；
第2步，放“1”，同上，也共有3种情形．
根据分步计数原理知，满足A∪B=0，1的集合A、B共有3×3=9（组）．

点评：用两种不同的原理解决同一个问题，这样是看问题的侧重点不同，但是不管选择哪一种做法，前提都是需要理解题意，再选择最合理的方法．