Question

设定义在区间[x₁，x₂]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向
量

OA

=（x₁，f（x₁）），

OB

=(x2，  f(x2))，

OM

=（x，y），当实数λ满足x=λ x₁+（1-λ） x₂时，记向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

．定义“函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指“|

MN

|≤k恒成立”，其中k是一个确定的正数．
（1）设函数 f（x）=x²在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；
（2）求证：函数g（x）=lnx在区间[e^m，e^m+1]（m∈R）上可在标准k=

1

8

下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

Answer 1

分析：（1）先由

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

得到

BN

=λ

BA

，得B，N，A三点共线；又由x=λx₁+（1-λ）x₂与向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，得N与M的横坐标相同．利用两点间的距离公式以及二次函数在闭区间上的最值求法即可求出|NM|，进而得到k的取值范围；
（2）先求出A，B两点的坐标以及直线AB的方程y-m=

1

em+1-em

(x-em)，设出函数h(x)=lnx-m-

1

em+1-em

(x-em)，并利用其导函数求出函数的最值，最后利用|

MN

|=h（x），即可证明结论．

解答：解：（1）由

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

得到

BN

=λ

BA

，
所以B，N，A三点共线，（2分）
又由x=λx₁+（1-λ）x₂与向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，得N与M的横坐标相同．（4分）
对于[0，1]上的函数y=x²，A（0，0），B（1，1），
则有|

MN

|=x-x2=-(x-

1

2

)2+

1

4

，故|

MN

|∈[0，  

1

4

]；
所以k的取值范围是[

1

4

，+∞)．（6分）
（2）对于[e^m，e^m+1]上的函数y=lnx，
A（e^m，m），B（e^m+1，m+1），（8分）
则直线AB的方程y-m=

1

em+1-em

(x-em)，（10分）
令h(x)=lnx-m-

1

em+1-em

(x-em)，其中x∈[e^m，e^m+1]（m∈R），
于是h′(x)=

1

x

-

1

em+1-em

，（13分）
列表如下：

x	em	（em，em+1-em）	em+1-em	（em+1-em，em+1）	em+1
h'（x）		+	0	-
h（x）	0	增	h（em+1-em）	减	0

则|

MN

|=h（x），且在x=e^m+1-e^m处取得最大值，
又h(em+1-em)=ln(e-1)-

e-2

e-1

≈0.123＜

1

8

，从而命题成立．（16分）

点评：本题是在新定义下考查向量共线知识以及利用导数求闭区间上函数的最值．是对知识的综合考查，属于难题．本题的关键在于理解定义．