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设定义在区间[x1, x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上的任意一点,O为坐标原点,设向

==(x,y),当实数λ满足x=λ x1+(1-λ) x2时,记向

+(1-λ).定义“函数y=f(x)在区间[x1,x2]上可在标准k下线性近似”是指

k恒成立”,其中k是一个确定的正数.

(1)设函数 f(x)=x2在区间[0,1]上可在标准k下线性近似,求k的取值范围;

(2)求证:函数在区间上可在标准k=下线性近似.

(参考数据:e=2.718,ln(e-1)=0.541)

 

【答案】

  (1)由+(1-λ)得到

所以B,N,A三点共线,                                        ……………………2分

又由x=λ x1+(1-λ) x2与向量+(1-λ),得N与M的横坐标相同. ……………4分

对于 [0,1]上的函数y=x2,A(0,0),B(1,1),

则有,故

所以k的取值范围是.                                    ……………………6分

(2)对于上的函数

A(),B(),                                       ……………………8分

则直线AB的方程,                        ……………………10分

,其中

于是,                                       ……………………13分

列表如下:

x

em

(em,em+1-em) [来源:学*科*网]

em+1-em

(em+1-em,em+1)

em+1

 

+

0

 

0

0

,且在处取得最大值,

0.123,从而命题成立.        ……………………16分

【解析】略

 

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上的任意一点,O为坐标原点,设向
OA
=(x1,f(x1)),
OB
=(x2,  f(x2))
OM
=(x,y),当实数λ满足x=λ x1+(1-λ) x2时,记向量
ON
OA
+(1-λ)
OB
.定义“函数y=f(x)在区间[x1,x2]上可在标准k下线性近似”是指“|
MN
|≤
k恒成立”,其中k是一个确定的正数.
(1)设函数 f(x)=x2在区间[0,1]上可在标准k下线性近似,求k的取值范围;
(2)求证:函数g(x)=lnx在区间[em,em+1](m∈R)上可在标准k=
1
8
下线性近似.
(参考数据:e=2.718,ln(e-1)=0.541)

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科目:高中数学 来源: 题型:

设定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,点A、B的坐标分别为(x1,f(x1)),(x2f(x2))且M(x,f(x))为图象C上的任意一点,O为坐标原点,当实数λ满足x=λx1+(1-λ)x2时,记向量
ON
OA
+(1-λ)
OB
.若|
MN
|≤k
恒成立,则称函数y=f(x)在区间[x1,x2]上可在标准k下线性近似,其中k是一个确定的正数.
(Ⅰ)求证:A、B、N三点共线
(Ⅱ)设函数f(x)=x2在区间[0,1]上可的标准k下线性近似,求k的取值范围;
(Ⅲ)求证:函数g(x)=lnx在区间(em,em+1)(m∈R)上可在标准k=
1
8
下线性近似.
(参考数据:e=2.718,ln(e-1)=0.541)

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科目:高中数学 来源:扬州模拟 题型:解答题

设定义在区间[x1,x2]上的函数y=f(x)的图象为C,M是C上的任意一点,O为坐标原点,设向
OA
=(x1,f(x1)),
OB
=(x2,  f(x2))
OM
=(x,y),当实数λ满足x=λ x1+(1-λ) x2时,记向量
ON
OA
+(1-λ)
OB
.定义“函数y=f(x)在区间[x1,x2]上可在标准k下线性近似”是指“|
MN
|≤
k恒成立”,其中k是一个确定的正数.
(1)设函数 f(x)=x2在区间[0,1]上可在标准k下线性近似,求k的取值范围;
(2)求证:函数g(x)=lnx在区间[em,em+1](m∈R)上可在标准k=
1
8
下线性近似.
(参考数据:e=2.718,ln(e-1)=0.541)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分16分)

设定义在区间[x1x2]上的函数y=f(x)的图象为CMC上的任意一点,O为坐标原点,设向

==(xy),当实数λ满足x=λ x1+(1-λ) x2时,记向

=λ+(1-λ).定义“函数y=f(x)在区间[x1x2]上可在标准k下线性近似”是指

k恒成立”,其中k是一个确定的正数.

(1)设函数 f(x)=x2在区间[0,1]上可在标准k下线性近似,求k的取值范围;

(2)求证:函数在区间上可在标准k=下线性近似.

(参考数据:e=2.718,ln(e-1)=0.541)

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