Question

【题目】某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量，兑现奖惩，从就餐的学生中随机抽出100位学生对餐厅服务质量打分（5分制），得到如图柱状图．
（Ⅰ）从样本中任意选取2名学生，求恰好有1名学生的打分不低于4分的概率；
（Ⅱ）若以这100人打分的频率作为概率，在该校随机选取2名学生进行打分（学生打分之间相互独立）记X表示两人打分之和，求X的分布列和E（X）．
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级，并制定了对餐厅相应的奖惩方案，如表所示，设当月奖金为Y（单位：元），求E（Y）．

服务质量评分X	X≤5	6≤X≤8	X≥9
等级	不好	较好	优良
奖惩标准（元）	﹣1000	2000	3000

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设“从样本中任意选取2名学生，求恰好有一名学生的打分不低于4分”为事件A， 则P（A）= = ≈0.51；
（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，8，9，10；
则P（X=4）=0.2×0.2=0.04，
P（X=5）=2×0.2×0.3=0.12，
P（X=6）=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21，
P（X=7）=2×0.3×0.3+2×0.2×0.2=0.26，
P（X=8）=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21，
P（X=9）=2×0.2×0.3=0.12，
P（X=10）=0.2×0.2=0.04；
X的分布列如下：

X	4	5	6	7	8	9	10
P	0.04	0.12	0.21	0.26	0.21	0.12	0.04

X的数学期望为E（X）=4×0.04+5×0.12+6×0.21+7×0.26+8×0.21+9×0.12+10×0.04=7；
（Ⅲ）Y的分布列为

Y	﹣1000	2000	3000
P	0.16	0.68	0.16

Y的数学期望为E（Y）=﹣1000×0.16+2000×0.68+3000×0.16=1680
【解析】（Ⅰ）计算“从样本中任意选取2名学生，恰好有一名学生的打分不低于4分”的概率值；（Ⅱ）由X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望；（Ⅲ）根据表格写出Y的分布列，计算对应的数学期望值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．