Question

（本小题满分12分）
在如图所示的四棱锥中，已知 PA⊥平面ABCD， ， ，，
为的中点．

（1）求证：MC∥平面PAD；
（2）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值；
（3）求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

(1)根据中位线性质，得到EM//AB,且EM= AB. 又因为，且，所以EM//DC，且EM=DC ∴四边形DCME为平行四边形, 则MC∥DE，
(2)(3)

试题分析：（1 ）如图，取PA的中点E，连接ME，DE，∵M为PB的中点，

∴EM//AB,且EM= AB. 又∵，且，
∴EM//DC，且EM=DC ∴四边形DCME为平行四边形,
则MC∥DE，又平面PAD, 平面PAD
所以MC∥平面PAD
（2）取PC中点N，则MN∥BC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC ，
又,∴BC⊥平面PAC，
则MN⊥平面PAC所以，为直线MC与平面PAC所成角，

（3）取AB的中点H，连接CH，则由题意得
又PA⊥平面ABCD，所以，则平面PAB.
所以,过H作于G,连接CG，则平面CGH,所以
则为二面角的平面角.

则，
故二面角的平面角的正切值为
点评：解决该试题的关键是能利用线面角和二面角的定义，准确的表示角，借助于三角形的知识来求解得到，也可以建立空间直角坐标系来运用空间向量法来得到求解，属于中档题。