Question

已知m＞1，直线l：x-my-

m2

2

=0，椭圆C：

x2

m2

+y²=1，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点．
（Ⅰ）当直线l过右焦点F₂时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把F₂代入直线方程求得m，则直线的方程可得．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根据

AG

=2

GO

，

BH

=2

H0

，可知G（

x1

3

，

y1

，3

），h（

x2

3

，

y，2

，3

），表示出|GH|²，设M是GH的中点，则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH|整理可得x₁x₂+y₁y₂＜0把x₁x₂和y₁y₂的表达式代入求得m的范围，最后综合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）解：因为直线l：x-my-

m2

2

=0，经过F₂（

m2-1

，0），
所以

m2-1

=

m2

2

，得m²=2，
又因为m＞1，所以m=

2

，
故直线l的方程为x-

2

y-1=0．
（Ⅱ）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x=my+ m2 2 x2 m2 +y2=1

，消去x得
2y²+my+

m2

4

-1=0
则由△=m²-8（

m2

4

-1）=-m²+8＞0，知m²＜8，
且有y₁+y₂=-

m

2

，y₁y₂=

m2

8

-

1

2

．
由于F₁（-c，0），F₂（c，0），故O为F₁F₂的中点，
由

AG

=2

GO

，

BH

=2

H0

，可知G（

x1

3

，

y1

，3

），H（

x2

3

，

y2

3

）
|GH|²=

(x1-x2)2

9

+

(y1-y2)2

9

设M是GH的中点，则M（

x1+x2

6

，

y1+y2

6

），
由题意可知2|MO|＜|GH|
即4[（

x1+x2

6

）²+（

y1+y2

6

）²]＜

(x1-x2)2

9

+

(y1-y2)2

9

即x₁x₂+y₁y₂＜0
而x₁x₂+y₁y₂=（my₁+

m2

2

）（my₂+

m2

2

）+y₁y₂=（m²+1）（

m2

8

-

1

2

）
所以（

m2

8

-

1

2

）＜0，即m²＜4
又因为m＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范围是（1，2）．

点评：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．