Question

（2012•成都模拟）已知m＞1，直线l：x-my-

m2

2

=0，椭圆C：

x2

m2

+y²=1，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点．
（I）当直线l过右焦点F₂时，求直线l的方程；
（II）当直线l与椭圆C相离、相交时，求m的取值范围；
（III）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）写出右焦点F₂的坐标，代入直线l的方程，即可求得m值，从而得到l的方程，注意m范围；
（II）直线与椭圆方程联立消去x，得y的二次方程，由△＜0得相离时m的范围，由△＞0得相交时m的范围；
（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．根据（II）由判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根据

AG

=2

GO

，

BH

=

HO

，可知G（

x1

3

，

y1

3

），H（

x2

3

，

y2

3

），表示出|GH|²，设M是GH的中点，则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH|整理可得x₁x₂+y₁y₂＜0把x₁x₂和y₁y₂的表达式代入求得m的范围，最后综合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）解：因为直线l：x-my-

m2

2

=0，经过F₂（

m2-1

，0），
所以

m2-1

-

m2

2

=0，得m²=2，
又因为m＞1，所以m=

2

，
故直线l的方程为x-

2

y-1=0．
（II）由

x-my- m2 2 =0 x2 m2 +y2=1

消去x得2y²+my+

m2

4

-1=0，
由△=m²-8（

m2

4

-1）=-m²+8＜0，得m＜-2

2

，或m＞2

2

，由△＞0得-2

2

＜m＜2

2

，
所以当直线与椭圆相离时m的取值范围是m＜-2

2

，或m＞2

2

；当直线与椭圆相交时m的取值范围是-2

2

＜m＜2

2

；
（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（II）知，△=m²-8（

m2

4

-1）=-m²+8＞0，得m²＜8，且有y₁+y₂=-

m

2

，y₁y₂=

m2

8

-

1

2

．
由于F₁（-c，0），F₂（c，0），故O为F₁F₂的中点，
由

AG

=2

GO

，

BH

=

HO

，可知G（

x1

3

，

y1

3

），H（

x2

3

，

y2

3

）
|GH|²=

(x1-x2)2

9

+

(y1-y2)2

9

，
设M是GH的中点，则M（

x1+x2

6

，

y1+y2

6

），
由题意可知2|MO|＜|GH|，即4[(

x1+x2

6

)2+(

y1+y2

6

)2]＜

(x1-x2)2

9

+

(y1-y2)2

9

，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
而x₁x₂+y₁y₂=（my₁+

m2

2

）（my₂+

m2

2

）+y₁y₂=（m²+1）（

m2

8

-

1

2

），
所以（

m2

8

-

1

2

）＜0，即m²＜4，
又因为m＞1且△＞0，
所以1＜m＜2．

点评：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．