Question

（2012•成都模拟）定义：若平面点集A中的任一个点（x₀，y₀），总存在正实数r，使得集合B={(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，则称A为一个开集，给出下列集合：
①{（x，y）|x²+y²=1}；      
②{（x，y|x+y+2＞0）}；
③{（x，y）||x+y|≤6}；     
④{(x，y)|0＜x2+(y-

2

)2＜1}．
其中是开集的是

②④

．（请写出所有符合条件的序号）

Answer 1

分析：根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案，：①：A={（x，y）|x²+y²=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，以圆上的点为圆心正实数r为半径的圆面不可能在该圆上，故不是开集，②是集A中的任一点（x₀，y₀），则该点到直线的距离为d，取r=d，满足条件，故是开集；③在曲线|x+y|=6任意取点（x₀，y₀），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足B={(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故该集合不是开集；④该平面点集A中的任一点（x₀，y₀），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足B={(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故该集合是开集．

解答：解：①：A={（x，y）|x²+y²=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x₀，y₀），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足B={(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，
故①不是开集；
②A={（x，y）|x+y+2＞0}平面点集A中的任一点（x₀，y₀），则该点到直线的距离为d，取r=d，则满足B={(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，
故该集合是开集；
③A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x₀，y₀），以任意正实数r为半径的圆面，B={(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故该集合不是开集；
④{(x，y)|0＜x2+(y-

2

)2＜1}表示以点（0，

2

） 为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x₀，y₀），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足B={(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故该集合是开集；
即是开集的只有：②④．
故答案为：②④．

点评：本题主要考查学生的阅读能力和对新定义的理解，如果一个集合是开集，则该集合表示的区域应该是不含边界的平面区域．本题的难点在于对新定义的理解．