Question

（2012•成都模拟）在锐角△ABC中，已知5

.

AC

•

.

BC

=4|

.

AC

|•|

.

BC

|，设

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，-cosA）且

m

•

n

=

1

5

，
求：（1）sin（A+B）的值；（2）tanA的值．

Answer 1

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求出cosC，再由诱导公式求出 sin（A+B）的值．
（2）设 x=tanA＞0，由

m

•

n

=sinAcosB-cosAsinB=

1

5

，sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

5

，可得tanB=

x

2

，再由tan（A+B）=

x+ x 2

1-x • x 2

=-

3

4

，解方程求出x的值，即为所求．

解答：解：（1）∵5

.

AC

•

.

BC

=5|

.

AC

|•|

.

BC

|cosC=4|

.

AC

|•|

.

BC

|，∴cosC=

4

5

，…（2分）
∴sin（A+B）=sinC=

3

5

．    
（2）设 x=tanA＞0，∵

m

•

n

=sinAcosB-cosAsinB=

1

5

   ①，
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

5

  ②，
由①+②可求得，sinAcosB=

2

5

，…（4分）
∴cosAsinB=

1

5

，故tanAcotB=2，故 tanB=

x

2

．
由（Ⅰ）可得cos（A+B）=-

4

5

，
故 tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

x+ x 2

1-x • x 2

=

3x

2-x2

=-

3

4

，
即 x²-4x-2=0，∴x=2+

6

，∴tanA=2+

6

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积公式的应用，两角和的正切公式、正弦公式的应用，属于中档题