Question

【题目】如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－ (1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】试题分析：求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，炮弹可击中目标存在k＞0，使3.2＝ka－ (1＋k2)a2成立，因为k＞0关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0解不等式得解.

试题解析：

因为a＞0，所以炮弹可击中目标存在k＞0，使3.2＝ka－ (1＋k2)a2成立关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，故只需判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0a≤6.

所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．