Question

如图，在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点，试用向量的方法：
（1）求证：D₁F⊥平面ADE；
（2）求CB₁与平面ADE所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先建立空间直角坐标系，利用向量的数量积来解决线面垂直
（2）通过引入法向量，来求线面的夹角．

解答： 解：（1）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由于正方体的边长为2，则：

D1F

=（0，1，-2），

DA

=（2，0，0），

DE

=（2，2，1）
由于

D1F

•

DA

=0，

D1F

•

DE

=0
所以：D₁F⊥DA，D₁F⊥DE
又DA∩DE=D
D₁F⊥平面ADE
（2）

CB1

=(2，0，2)
由（1）知平面ADE的法向量

n

=

D1F

=(0，1，-2)
cos＜

CB1

，

n

＞=

-4

8 • 5

=-

10

5

设CB₁与平面ADE所成的角为θ，
所以：sinθ=

10

5

，cosθ=

15

5

∴CB₁与平面ADE所成的角的余弦值为

15

5

点评：本题考查的知识要点：空间直角坐标系，向量的垂直问题，线面垂直的判定定理，法向量的应用，线面的夹角公式．