Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x的定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）求证：n＞m；
（3）[理]若t为自然数，则当t取哪些值时，方程f（x）-m=0（m∈R）在[-2，t]上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数的解析式求出f（x）的导函数，令导函数大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数的增区间；令导函数小于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数的减区间，所以要使函数在[-2，t]上为单调函数，根据求出的单调区间即可得到t的取值范围；
（2）根据（1）求出的函数的单调区间，由函数的增减性得到函数的极小值，把x=-2代入f（x）解析式求出f（-2）的值，进而发现f（-2）小于极小值，所以得到函数在区间[-2，t]的最小值为f（-2），即t大于-2时，得到f（-2）小于f（t），得证；
（3）由（1）求出的函数的单调区间得到t=0或1时，方程f（x）-m=0不可能有三个不相等的实数根，所以得到t大于等于2，要使方程有三个不等的实数根，只需让m属于（max（f（-2），f（1）），min（f（0），f（t）））即可，分别求出各自的值，判断出大小即可得到m的取值范围．

解答：解：（1）因为f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x=x（x-1）•e^x，
由f′（x）＞0?x＞1或x＜0；由f′（x）＜0?0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
欲使f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0．
（2）因为f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
所以f（x）在x=1处取得极小值f（1）=e．
又f（-2）=

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e2

＜e，所以f（x）仅在x=-2处取得[-2，t]上的最小值f（-2），
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即m＜n．
（3）由（1）知f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
故当t=0或t=1时，方程f（x）-m=0在[-2，t]上不可能有三个不等实根，
所以t≥2，且t∈N．
当t≥2，且t∈N时，方程f（x）-m=0在[-2，t]上有三个不等实根，
只需满足m∈（max（f（-2），f（1）），min（f（0），f（t）））即可．
因为f（-2）=

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e2

，f（0）=3，f（1）=e，f（2）=e²，且f（t）≥f（2）=e²＞3=f（0），
因而f（-2）＜f（1）＜f（0）＜f（2）≤f（t），
所以f（1）＜m＜f（0），即e＜m＜3，
即实数m的取值范围是（e，3）．

点评：此题考查学生会利用导数研究函数的单调性，要求学生掌握函数单调性的性质，是一道综合题．