Question

已知椭圆C：经过点，一个焦点是F（0，1）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设椭圆C与y轴的两个交点为A₁、A₂，不在y轴上的动点P在直线y=a²上运动，直线PA₁、PA₂分别与椭圆C交于点M、N，证明：直线MN经过焦点F．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用椭圆的定义确定a的值，进而可求b，即可求得椭圆C的方程；
（II）设出MN的方程与椭圆方程联立，由直线PA₁方程、直线PA₂方程确定P的横坐标，进而利用韦达定理，可建立等式，由此可证结论．
解答：（I）解：由题意，椭圆的另一个焦点是F'（0，-1），
∵椭圆经过点，
∴，
∵c=1，∴=
∴椭圆C的方程为；
（II）证明：∵A₁、M、P三点共线，A₂、N、P三点也共线，
∴P是直线PA₁与直线PA₂的交点，
显然MN斜率存在时，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
设MN：y=kx+m，代入，得（3k²+4）x²+6kmx+4m²-12=0，
∴，，
直线PA₁方程，直线PA₂方程，
y=4分别代入，得，，
∴，即2kx₁x₂-m（x₁+x₂-4x₂）-2（x₁+x₂+2x₂）=0，
∴2k×-m（-4x₂）-2（+2x₂）=0，
∴（m-1）（+2x₂）=0对任意的x₂都成立
∴m=1
∴直线MN经过焦点F．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．