Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=PB，点E是PD的中点，
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC；
（Ⅲ）求二面角E-AC-B的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，
∴AB是PB在平面ABCD上的射影，
又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，
∴AC⊥PB。
（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO，
∵ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，又E是PD的中点，
∴EO∥PB，
又PB平面AEC，EO平面AEC，
∴PB∥平面AEC。
（Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为（，，0），=（0，，0），
又，
∴，
∴OE⊥AC，OG⊥AC，
∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角，
∵，
∴∠EOG=135°，
∴二面角E-AC-B的大小为135°。