Question

已知f（x）=x+asinx．
（Ⅰ） 若a=2，求f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（Ⅱ）当常数a≠0时，设g（x）=

f(x)

x

，求g（x）在[

π

6

，

5π

6

]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2代入f（x），然后对f（x）进行求导，可以令f′（x）＜0，解出x的范围即可；
（Ⅱ）常数a≠0时，设g（x）=

f(x)

x

，利用求导法则，对g（x）进行求导，求出x在[0，π]上的极值点，利用导数研究其最值问题；

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x+2sinx，所以f′（x）=1+2cosx，
当f′（x）＜0，cosx＜-

1

2

，
∴f（x）在[0，π]上单调递减区间为[

2

3

π，π]．
（Ⅱ）g（x）=

f(x)

x

=1+

asinx

x

，
g′（x）=

a(xcosx-sinx)

x2

，
记h（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π），
h′（x）=-xsinx＜0，对x∈（0，π）恒成立，
∴h（x）在x∈（0，π）上是减函数，
∴h（x）＜h（0）=0，即g′（x）＜0，
①当a＞0时，g（x）=

f(x)

x

在（0，π）上是减函数，得g（x）在[

π

6

，

5π

6

]上为减函数，
∴当a=

π

6

时，g（x）取得最大值1+

3a

π

，
②当a＜0时，g（x）=

f(x)

x

在（0，π）上是增函数，得g（x）在[

π

6

，

5π

6

]上为增函数，
∴当x=

5π

6

时，g（x）取得最大值1+

3a

5π

；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，解题的关键是能够对g（x）进行正确求导，此题是一道中档题；