Question

已知f（x）=2x³-5x，g（x）=x³+ax²+bx+c，x∈（0，+∞），设（1，f（1））是曲线y=f（x）与y=g（x）的一个公共点，且在此点处的切线相同．记g（x）的导函数为g'（x），对任意x∈（0，+∞）恒有g'（x）＞0．
（1）求a，b，c之间的关系（请用b表示a、c）；
（2）求b的取值范围；
（3）证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）≥g（x）．

Answer 1

分析：（1）求a，b，c之间的关系可利用（1，f（1））是曲线y=f（x）与y=g（x）的一个公共点，且在此点处的切线相同，建立关于a，b，c的方程组，求出三者的关系．
（2）求b的取值范围，可根据g（x）的导函数为g'（x），对任意x∈（0，+∞）恒有g'（x）＞0转化出含有b的不等式，求出它的范围；
（3）证明：当x∈（0，+∞）时，f（x）≥g（x）．可构造一个新函数，令F（x）=f（x）-g（x），将不等式恒成立的问题转化为求F（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立的问题．

解答：解：（1）f'（x）=6x²-5，f（1）=-3，f'（1）=1，g'（x）=3x²+2ax+b，g（1）=1+a+b+c，g'（1）=3+2a+b．
由条件可得

a+b+c+4=0 2a+b+2=0

故a=-

b

2

-1，c=-3-

b

2

．
（2）∵当x∈（0，+∞）时，g'（x）=3x²+2ax+b＞0恒成立，
∴△=4a²-12b＜0，或

△≥0 - 2a 6 ≤0 g′(0)=b≥0

得b∈(4-2

3

，4+2

3

)．
（3）令F（x）=f（x）-g（x），则F（1）=0，F'（x）=3x²-2ax-b-5=3x²+（b+2）x-b-5=（3x+b+5）（x-1）．
∵x∈(0，+∞)，b∈(4-2

3

，4+2

3

)，
∴3x+b+5＞0．
当x∈（0，1）时，F'（x）＜0，F（x）＞F（1）=0；
当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，F（x）＞F（1）=0．
综上，当x∈（0，+∞）时，F（x）≥0，即f（x）-g（x）≥0，即f（x）≥g（x）．

点评：本题本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第三小题是一个恒成立的问题，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用导数求函数在区间上的最值的问题．利用最小值恒大于等于0得出两个函数在所研究的区间上的大小问题．本题综合性较强，注意综合条件确定转化的方向．