练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    设a＞0，f（x）=x2+a|lnx-1|．
    （1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
    （2）当x∈[1，+∞）时，求f（x）的最小值．

    解：（1）当a=2时，
    当x＞e时，恒成立，
    当0＜x＜e时，，
    令f′（x）＞0得1＜x＜e
    又，
    故f（x）在x=e处连续，
    所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
    （2）当x＞e时，，故f（x）在（e，+∞）单增
    当0＜x＜e时，，
    令
    则f（x）在单增，
    f（x）在单减．
    又f（x）在x=e处连续．
    故，当时，
    fmin（x）=f（e）=e2
    当时，

    当时，
    fmin（x）=f（1）=1+a
    分析：（1）当a=2时，f（x）=x2+2|lnx-1|，利用零点分段法，我们可将函数化为分段函数的形式，进而根据分段函数分段处理的原则，分别求出当x＞e时，和当0＜x＜e时，导函数的解析式，利用导数法，即可求出f（x）的单调区间；
    （2）类比（1），利用导数法，我们可以判断出f（x）在（e，+∞）单增，f（x）在单增，f（x）在单减，进而根据分段函数最值的求法，可得当时，fmin（x）=f（e）=e2，当时，，当时，fmin（x）=f（1）=1+a．
    点评：本题考查的知识点是函数的单调性及单调区间，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，其中利用零点分段法，将函数的解析式化为分段函数的形式，是解答本题的关键，另外解答时要注意函数的定义域为（0，+∞），以免产生错误．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，若曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，
    π4
    ]    ，则P到曲线y=f（x）的对称轴的距离的取值范围为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设a＞0，f（x）=
    ex
    a
    +
    a
    ex
    是R上的偶函数．则a的值为（　　）
    A、-2B、-1C、1D、2

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    有以下五个命题
    ①设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，
    π
    4
    ]，则点P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为[0，
    1
    2a
    ]；
    ②一质点沿直线运动，如果由始点起经过t称后的位移为s=
    1
    3
    t3-
    3
    2
    t2+2t    ，那么速度为零的时刻只有1秒末；
    ③若函数f（x）=loga（x3-ax）（a＞0，且a≠1）在区间(-
    1
    2
    ，0)    内单调递增，则a的取值范围是[
    3
    4
    ，1)    ；
    ④定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=-f（x），则f（x）的图象关于x=1对称；
    ⑤函数y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称．其中正确的有
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设a＞0，f（x）=x2+a|lnx-1|．
    （1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
    （2）当x∈[1，+∞）时，求f（x）的最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设a＞0函数f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调函数．
    （1）求实数a的取值范围；
    （2）设x0≥1，f（x1）≥1，且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案