Question

四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所有平面垂直于底面ABCD

（Ⅰ）求证：AD⊥PB；

（Ⅱ）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论。

Answer 1

证明：（Ⅰ）

取AD中点G，联结PG、BG、BD，

∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD，

又∵面PAD⊥面ABCD，∴PG⊥面ABCD

△ABD中，∠A=60°，AD=AB，

∴△ABD为等边三角形，

∵PG⊥AD，∴AD⊥面PBG，∴AD⊥PB

（Ⅱ）联结CG，与DE相交与H点，

在面PGC中作HF∥PG，交PC与F点，

所以FH⊥面ABCD，

所以面DEF⊥面ABCD

又F是CG的中点，∴F是PC的中点，

∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得面DEF⊥面ABCD