Question

如图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=CD，
(Ⅰ)求证：PE⊥平面PBC；
(Ⅱ)直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由；
(Ⅲ)求二面角E-BD-A的余弦值。

Answer 1

解：(Ⅰ) ∵EA∥OP，AO平面ABP， ∴点A，B，P，E共面， ∵PO⊥平面ABCD，PO平面PEA， ∴平面PEAB⊥平面ABCD， ∵BC平面ABCD，BC⊥AB，平面PFAB∩平面ABCD=AB， ∴BC⊥平面PEAB，PE⊥BC， 由平面几何知识知PE⊥PB， 又BC∩PB=B， ∴PE⊥平面PBC。  (Ⅱ)点E即为所求的点，即点M与点E重合， 取PB的中点F，连接EF，CF，DE， 由平面几何知识知EF∥AB，且EF=DC， ∴四边形DCEF为平行四边形，所以DE∥CF， ∵CF在平面PBC内，DE不在平面PBC内， ∴DE∥平面PBC。
(Ⅲ)由已知可知四边形BCDO是正方形，显然OD，OB，OP两两垂直， 如图建立空间直角坐标系，设DC=1， 则， 设平面BDE的一个法向量为，并设=（x，y，z）， ， ，即，取y=1，则x=1，z=3， 从而， 取平面ABD的一个法向量为， ， 故二面角E-BD-A的余弦值为。