Question

设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=

3

2

．已知点P(0，

3

2

)到这个椭圆上的点的最远距离为

7

，求这个椭圆方程．

Answer 1

分析：先设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，M（x，y）为椭圆上的点，由离心率得a=2b，利用两点间的距离公式表示出|PM|²若b＜

1

2

，则当y=-b时|PM|²最大，这种情况不可能；若b≥

1

2

时，y=-

1

2

时4b²+3=7，从而求出b值，最后求得所求方程．

解答：解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，M（x，y）为椭圆上的点，由

c

a

=

3

2

得a=2b，
|PM|2=x2+(y-

3

2

)2=-3(y+

1

2

)2+4b2+3(-b≤y≤b)，
若b＜

1

2

，则当y=-b时|PM|²最大，即(-b-

3

2

)2=7，
∴b=

7

-

3

2

＞

1

2

，故矛盾．
若b≥

1

2

时，y=-

1

2

时，
4b²+3=7，
b²=1，从而a²=4．
所求方程为 

x2

4

+y2=1．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、椭圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．