Question

3．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若点P坐标为（3，$\sqrt{5}$），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标系；
（2）直线l的参数方程化为普通方程代入圆的方程解出交点坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：（1）圆C的方程为ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，即${ρ}^{2}=2\sqrt{5}ρsinθ$，
∴x²+y²=2$\sqrt{5}$y，
∴圆C的直角坐标方程${x}^{2}+（y-\sqrt{5}）^{2}$=5．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），化为普通方程为：x+y=3+$\sqrt{5}$，
代入上述圆方程消去y得：x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2．
∴|PA|+|PB|=$\sqrt{（{x}_{1}-3）^{2}+（{y}_{1}-\sqrt{5}）^{2}}$+$\sqrt{（{x}_{2}-3）^{2}+（{y}_{2}-\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}-2\sqrt{5}{y}_{1}-6{x}_{1}+14}$+$\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}-2\sqrt{5}{y}_{2}-6{x}_{2}+14}$
=$\sqrt{14-6{x}_{1}}$+$\sqrt{14-6{x}_{2}}$=$3\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的交点、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．