Question

在△ABC中，BC=

5

，sin(2A-

π

6

)-2sin2A=0．
（Ⅰ）求角A；           
（Ⅱ）设△ABC的面积为S，且S=

BA

•

BC

，求边AC的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：sin(2A+

π

6

)-1=0，由A为△ABC的内角可得答案．
（Ⅱ）由向量的数量积可得：

BC

•

BA

=

1

2

|BC|•|BA|•sinB，结合题意可得：cosB=

1

2

sinB，即可得到sinB=

2 5

5

．再根据正弦定理可得AC=4．

解答：解：（Ⅰ）由sin(2A-

π

6

)-2sin2A=0可得

3

2

sin2A+

1

2

cos2A=1，
所以sin(2A+

π

6

)-1=0，
∵A为△ABC的内角，
∴A=

π

6

．…（6分）
（Ⅱ）由题意可得：S=

BC

•

BA

=|BC|•|BA|•cosB，
又因为

BC

•

BA

=

1

2

|BC|•|BA|•sinB，
所以cosB=

1

2

sinB，
又因为sin²B+cos²B=1
所以解得sinB=

2 5

5

．
在△ABC中，由正弦定理得

BC

sinA

=

AC

sinB

，即

5

sin π 6

=

AC

2 5 5

，
解得AC=4．…（12分）

点评：本题主要考查同角三角函数基本关系，以及向量的数量积运算与正弦定理，是一道综合性较强的题型．