Question

15．已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C₁的位置，点E，F，M分别是AB，DC₁，BC₁的中点．
（I）求证：AC₁⊥BD；
（Ⅱ）当EM=$\sqrt{6}$时，求平面EFM与平面BDC₁所成的锐二面角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的性质定理证明AC₁?平面AOC₁，即可证明AC₁⊥BD；
（Ⅱ）根据三角形的边长关系结合勾股定理证明△EMN是等腰直角三角形，即∠EMN是平面EFM与平面BDC₁所成的锐二面角的平面角，进行求解即可．

解答 （1）取BD中点O，连接AO，C₁O，
由题知道：BD⊥AO，BD⊥C₁O，
因为AO∩C₁O=O，
则BD⊥平面AOC₁，
由AC₁?平面AOC₁，
所以AC₁⊥BD
（2）由题，$AO={C_1}O=2\sqrt{3}$，
取BO中点N，则EN=MN=$\sqrt{3}$，
在三角形EMN中，∵EM=$\sqrt{6}$，
∴满足EN²+MN²=EM²，
即△EMN是等腰直角三角形，则EN⊥MN，
则二面角A-BD-C₁是直二面角
则∠EMN是平面EFM与平面BDC₁所成的锐二面角的平面角，
∵△EMN是等腰直角三角形，
∴∠EMN=45°，
即平面EFM与平面BDC₁所成的锐二面角的大小为45°．

点评 本题主要考查直线垂直的判断以及二面角的求解，根据线面垂直的性质结合二面角平面角的定义找出二面角的平面角是解决本题的关键．