Question

（2011•浙江模拟）若(x+

1

x2

)n（n∈N₊）的展开式中存在常数项A，此时二项式系数的最大值为B，则（　　）

A．A＞B

B．A≥B

C．A＜B

D．A≤B

Answer 1

分析：由二项展开式的通项Tr+1=

C

r n

xn-r(

1

x2

) r=C_n^rx^n-3r，可知，当n-3r=0即r=

1

3

n，为常数项，即可得A=

C

n 3 n

，由二项式系数的性质可求B，然后结合二项式系数的单调性可比较A，B的大小

解答：解：由题意可得，Tr+1=

C

r n

xn-r(

1

x2

) r=C_n^rx^n-3r
令n-3r=0可得r=

1

3

n，则n一定是3的倍数
此时A=

C

n 3 n

当n为偶数时，二项式系数的最大值为B=

C

n 2 n

若n为奇数时，二项式系数的最大值为B=

C

n-1 2 n

=

C

n+1 2 n

当n=3时，A=B
当n＞3时，

n

2

＞

n-1

2

＞

n

3

，由二项式系数的性质可知

C

n-1 2 n

＞

C

n 3 n

即B＞A
综上可得，A≤B
故选：D

点评：本题主要考查了二项式系数的性质的应用，解题中要注意对n的讨论的根本原因是要比较

n

3

与

n-1

2

的大小，进而比较A=

C

n 3 n

与B=

C

n 2 n

的大小