Question

利用导数求和

(1)S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1(x≠0,n∈N^*)

(2)S_n=C+2C+3C+…+nC,(n∈N^*)

Answer 1

(1) S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1=

 (2) S_n=C+2C+…+nC=n·2^n－1

解析:

(1)当x=1时，S_n=1+2+3+…+n=n(n+1);

当x≠1时，

∵x+x²+x³+…+xⁿ=,

两边都是关于x的函数，求导得

(x+x²+x³+…+xⁿ)′=()′

即S_n=1+2x+3x²+…+nx^n－1=

(2)∵(1+x)ⁿ=1+Cx+Cx²+…+Cxⁿ,

两边都是关于x的可导函数，求导得

n(1+x)^n－1=C+2Cx+3Cx²+…+nCx^n－1,

令x=1得，n·2^n－1=C+2C+3C+…+nC,

即S_n=C+2C+…+nC=n·2^n－1。